حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} - 1$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{2} - 1$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2} - 1$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} + x^{2} \cdot - 1$

خطوة 3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - 1 \cdot x^{2}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - x^{2}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4} - x^{2}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} - x^{2} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int x^{4} - x^{2} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x^{2} y = \int x^{4} d x + \int - x^{2} d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{2} d x$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{2} d x$

خطوة 7.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{5} x^{3}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2.4

اقسِم $- \frac{1}{3} x$ على $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$