حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $8 x y^{3} d x$ من كلا المتعادلين.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{2} y^{2}$ من $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x y^{3}$ من $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $8$ في $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $12 \ln (| y |)$ بنقل $12$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{12}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.3

بسّط $8 \ln (| x |)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

خطوة 5.2.1.1.4

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{8}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $y^{12} x^{8} = e^{C}$ على $x^{8}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $y^{12} x^{8} = e^{C}$ على $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $y^{12}$ على $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

خطوة 5.5.4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

أعِد كتابة $x^{8}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

خطوة 5.5.4.2.2

أعِد كتابة $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ بالصيغة $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

خطوة 5.5.4.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 5.5.4.3

اضرب $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.4.1

اضرب $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.4.2

ارفع $\sqrt[3]{x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

خطوة 5.5.4.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

خطوة 5.5.4.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ بالصيغة $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

خطوة 5.5.4.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

خطوة 5.5.4.4.5.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.4

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.4.5.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.4.5.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

خطوة 5.5.4.4.5.5.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.3

أخرِج عامل $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.5.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام الدليل المشترك الأصغر لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.5.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.5.1.2

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.5.1.3

أعِد كتابة $x^{\frac{4}{12}}$ بالصيغة $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.5.5.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.4.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

خطوة 5.5.4.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

خطوة 5.5.4.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

خطوة 5.5.4.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

خطوة 5.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

خطوة 5.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

خطوة 5.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$