حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1 + x$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 + x) y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

خطوة 3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 1}{1 + x}$ و $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب $1$ و $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.3

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 4.3.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 4.3.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 4.3.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 4.3.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 4.3.7

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

خطوة 4.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 4.3.11.2

اضرب $- - \ln (| x + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 4.3.11.2.2

اضرب $\ln (| x + 1 |)$ في $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$