حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d f}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

خطوة 1.1.2

اطرح $e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d f}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.4

اقسِم $- e^{- x}$ على $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{2 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $e^{- 2 x}$ في $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u_{1} = - 2 x$ . إذن $d u_{1} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u_{1} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3.3.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

خطوة 2.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

خطوة 2.3.9

لنفترض أن $u_{2} = - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

افترض أن $u_{2} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.9.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.11.2

اضرب $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

خطوة 2.3.13

بسّط.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$