حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y + \frac{d y}{d x} = 100 x$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = 100 x - x y$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $100 x - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $100 x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 - x y$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 + x (- 1 y)$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 100 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - 1 y)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - y)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{100 - y}$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} (x (100 - y))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $100 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $100 - y$ من $x (100 - y)$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{100 - y} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{100 - y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 100 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 100 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $100 - y$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 100 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 100 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $\ln (| 100 - y |)$ على $1$ .

$\ln (| 100 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ بالصيغة $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\ln (| 100 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

خطوة 3.1.3.1.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 100 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 100 - y |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ .

$| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$100 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

خطوة 3.4.3

اطرح $100$ من كلا المتعادلين.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ بالصيغة $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.1.3

اقسِم $- 100$ على $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 100$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 100$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 100$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$