حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ بالصيغة $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

خطوة 3.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

خطوة 3.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

خطوة 3.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

خطوة 3.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

خطوة 3.3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.6.1

أعِد كتابة $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ بالصيغة $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

خطوة 3.3.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $5$ عن $y$ في $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2.2

اضرب العدد في صفر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.2.2.1

اضرب $0$ في $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2.2.2

اضرب $4$ في $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2.4

اضرب $0 + 4 e^{0} + K$ في $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.1.2.5

أضف $0$ و $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.1.1.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $- 2$ في $5$ .

$4 + K = - 10$

خطوة 6.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$K = - 10 - 4$

خطوة 6.4.2

اطرح $4$ من $- 10$ .

$K = - 14$

خطوة 7

عوّض بـ $- 14$ عن $K$ في $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 14$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

خطوة 7.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

خطوة 7.2.4

أخرِج العامل $2$ من $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

خطوة 7.2.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

خطوة 7.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

خطوة 7.2.6.4

اقسِم $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ على $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

خطوة 7.4.3

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$