حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $13$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 13 \int t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 5 t^{2} - 1$ . إذن $d u = 10 t d t$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 5 t^{2} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 1]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 t^{2} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$10 t + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $10 t$ و $0$ .

$10 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$s + C_{1} = 13 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 13 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 13 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

خطوة 2.3.5

اجمع $\frac{1}{10}$ و $13$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $\frac{13}{10}$ في $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $10$ في $4$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + K$