حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $1 + y^{2}$ .

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

خطوة 2.2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$