حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

خطوة 2.3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

خطوة 3.3

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $\frac{5 x^{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

خطوة 3.3.2

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

خطوة 3.3.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 5$ في $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5 x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

خطوة 3.4.4

انقُل $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 10$ و $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.4.1

اضرب $- 5$ في $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4.2

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4.3

اضرب $- 6$ في $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5

أخرِج العامل $4$ من $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.4

أخرِج العامل $4$ من $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6

أعِد كتابة $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ بالصيغة $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.8

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(0, 8)$ ، انظر فقط $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $x$ وبـ $8$ عن $y$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

خطوة 6.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

خطوة 6.2.2

اطرح $5$ من $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

خطوة 6.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

خطوة 6.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ في صورة ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.2.2

اضرب $5$ في $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.2.3

اضرب $6$ في $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $25 + 0 + K + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.1.1

أضف $25$ و $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.3.1.2

أضف $25 + K$ و $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

خطوة 6.4.2.1.3.2

بسّط.

$25 + K = 3^{2}$

خطوة 6.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$25 + K = 9$

خطوة 6.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$K = 9 - 25$

خطوة 6.5.2

اطرح $25$ من $9$ .

$K = - 16$

خطوة 7

عوّض بـ $- 16$ عن $K$ في $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 16$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

خطوة 7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $16$ من $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

خطوة 7.2.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$