حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $y x e^{x + 2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.3.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.3.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ بالصيغة $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$