حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $a$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 + \frac{x}{b}$ . إذن $d u = \frac{1}{b} d x$ ، لذا $b d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 + \frac{x}{b}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{x}{b}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $\frac{1}{b}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{b}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $\frac{1}{b}$ في $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

خطوة 2.3.2.1.4

أضف $0$ و $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $b$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

خطوة 2.3.3.3

اجمع $\frac{1}{u^{2}}$ و $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $b$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 2.3.5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $a$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $b$ و $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $b a \frac{b}{b + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.3.1

اجمع $b$ و $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.2

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.3

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.6

اجمع $a$ و $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.1

اجمع $2$ و $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.7.1

أعِد كتابة $- (a b^{2} - K b - K x)$ بالصيغة $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

خطوة 3.2.2.1.5.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$