حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y + C_{1} = - 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $25$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = - 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \cdot 5^{1} + K = 0$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 \cdot 5 + K = 0$

خطوة 4.2.5

اضرب $- 2$ في $5$ .

$- 10 + K = 0$

خطوة 4.3

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 10$

خطوة 5

عوّض بـ $10$ عن $K$ في $y = - 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $10$ .

$y = - 2 x^{\frac{1}{2}} + 10$