حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $\frac{y}{2 + 3 y}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

خطوة 1.1.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{y}{2 + 3 y}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $2 + 3 y$ من $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.8

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$