حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

خطوة 2.4

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

خطوة 2.6

بما أن $- \frac{1}{y^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{y^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7.2

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- \frac{1}{y^{2}}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{1}{y^{2}}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- \frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

خطوة 4.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 4.3.3

اضرب $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

خطوة 4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

خطوة 4.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

خطوة 4.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

خطوة 5.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ في عامل التكامل $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{y}$ في $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ في $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اضرب $\frac{x}{y^{2}}$ في $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.8

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

انقُل $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.8.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.8.3

أضف $2$ و $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.9

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 3 y^{3} + x - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $- 3 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 3 y^{3}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ بالصيغة $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

خطوة 13.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $y^{4}$ و $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

خطوة 15.2

انقُل $3$ إلى يسار $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$