حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج عامل $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2} d y$ ، لذا $- 2 d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{3}{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{y}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.9

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ على $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $\frac{3}{2}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

خطوة 3.4.4

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.1.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.1.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1

بسّط $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.1

لكتابة $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.2.1

اجمع $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

خطوة 3.4.5.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 3.4.5.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 3.4.5.2.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 3.4.5.2.1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

خطوة 3.4.5.2.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

خطوة 3.4.5.2.1.4

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

خطوة 3.4.5.2.1.4.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.4.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

خطوة 3.4.5.2.1.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

خطوة 3.4.6

أعِد ترتيب $- \frac{x}{2}$ و $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $e^{- \frac{x}{2} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{- \frac{x}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

خطوة 4.5

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$