حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

خطوة 2.3.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $10$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

اجمع $9$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ .

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

خطوة 4.2.2

أضف $3$ و $5$ .

$8 + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - 8$

خطوة 4.3.2

اطرح $8$ من $2$ .

$K = - 6$

خطوة 5

عوّض بـ $- 6$ عن $K$ في $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 6$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$