حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{2 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 8 + x^{3}$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 8 + x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 2.3.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{4}{3} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$