حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x y^{2} - e^{2 y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- e^{2 y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e^{2 y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3 y^{2}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 y^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 y^{2}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{3} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $3 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 x y^{2}$ و $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $3 y^{2} x$ من $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

خطوة 9.1.2.3

اطرح $e^{2 y}$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- e^{2 y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

خطوة 10.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

خطوة 10.4

لنفترض أن $u = 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

افترض أن $u = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 10.4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 10.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 10.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 10.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 10.7

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 10.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 10.9

بسّط.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

خطوة 10.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

خطوة 12

اجمع $e^{2 y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$