حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعكس الطرفين بحيث تصبح $\frac{d y}{d x}$ في الطرف الأيسر.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

خطوة 1.4

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.1.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.1.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ بالصيغة $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

اجمع.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

خطوة 3.2.2.1.4

اجمع $\frac{3}{4}$ و $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

خطوة 3.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

خطوة 3.2.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

خطوة 3.4.3

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

ارفع $\sqrt[3]{4}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

خطوة 3.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

خطوة 3.4.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ بالصيغة $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{4}$ في صورة $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.4.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

خطوة 3.4.4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

خطوة 3.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

خطوة 3.4.5.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.3.1

أخرِج العامل $8$ من $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

خطوة 3.4.5.3.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

خطوة 3.4.5.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

خطوة 3.4.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$