حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

خطوة 6.2

بسّط $C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$C e^{0} = 1$

خطوة 6.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

خطوة 6.2.4

اضرب $C$ في $1$ .

$C = 1$

خطوة 7

عوّض بـ $1$ عن $C$ في $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 7.2

اضرب $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ في $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$