حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

خطوة 1.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x (2 x^{2} + y^{2})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 1.4

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

خطوة 1.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y (x^{2} + 2 y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

خطوة 2.5

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

خطوة 2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب عوامل $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x y = 2 x y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وسّع $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

خطوة 5.1.2

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

خطوة 5.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

خطوة 5.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

خطوة 5.1.6

أضف $1$ و $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.5

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.3

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.8.4

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.9

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{2} x^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.6

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.3.7.2

اقسِم $x^{2} y$ على $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 9.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

خطوة 9.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

خطوة 9.1.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

خطوة 9.1.1.5

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.5.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

خطوة 9.1.1.5.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.5.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

خطوة 9.1.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

خطوة 9.1.1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

خطوة 9.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $y x^{2}$ و $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

خطوة 9.1.2.2.2

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

خطوة 9.1.2.2.3

أضف $2 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y^{3}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

خطوة 10.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$