حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

اضرب $v^{\frac{1}{3}}$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.4.4.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.12

انقُل $v^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14

اجمع $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ و $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.15

أعِد كتابة $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 4.16

اضرب $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.17

اضرب $v^{\frac{2}{3}}$ في $v^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

انقُل $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 4.17.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

خطوة 4.17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

خطوة 4.17.4

أضف $2$ و $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- \frac{1}{3}}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ في $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ في $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $3 v^{\frac{4}{3}}$ من $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.4

اضرب $v^{- \frac{1}{3}}$ في $v^{\frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.4.1

انقُل $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.4.4

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.4.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.5

بسّط $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.2.1.9

أعِد كتابة $- 1 v$ بالصيغة $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d x} - v = (- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3.3

اضرب $- \frac{1}{3} (- 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3.3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3.3.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- \frac{1}{3} + \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

خطوة 6.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (- \frac{1}{3} + \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.4.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (- \frac{1}{3} + \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (- \frac{1}{3}) - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{- 1}{3}) - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.6.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{- 1}{3} - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{- 1}{3} - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - v = (- - 1 - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 3 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.8.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 + 3 (- 1) \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} - v = (1 + 3 \cdot - 1 \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - (2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.9.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.9.2

اضرب الأُسس في ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.9.2.2

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.9.2.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.9.2.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.9.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.10

اضرب $v^{- \frac{4}{3}}$ في $v^{\frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.10.1

انقُل $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

خطوة 6.1.1.3.10.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.10.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.10.4

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{\frac{0}{3}}$

خطوة 6.1.1.3.10.5

اقسِم $0$ على $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (1 - 2 x) v^{0}$

خطوة 6.1.1.3.11

بسّط $(1 - 2 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = 1 - 2 x$

خطوة 6.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d v}{d x} - v = - 2 x + 1$

خطوة 6.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 6.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 6.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 2 e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 6.3.3.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 2 e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 2 e^{- x} x + e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 2 x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 2 x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 6.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 2 x e^{- x} + e^{- x} d x$

خطوة 6.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} v = \int - 2 x e^{- x} + e^{- x} d x$

خطوة 6.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{- x} v = \int - 2 x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{- x} v = - 2 \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.5.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.6

لنفترض أن $u_{1} = - x$ . إذن $d u_{1} = - d x$ ، لذا $- d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.6.1

افترض أن $u_{1} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.6.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 6.7.6.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.7.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 6.7.6.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 6.7.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.8

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- x} d x$

خطوة 6.7.9

لنفترض أن $u_{2} = - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.9.1

افترض أن $u_{2} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.9.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 6.7.9.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.7.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 6.7.9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 6.7.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6.7.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6.7.11

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 6.7.12

بسّط.

$e^{- x} v = - 2 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) - e^{u_{2}} + C$

خطوة 6.7.13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$e^{- x} v = - 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) - e^{u_{2}} + C$

خطوة 6.7.13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$e^{- x} v = - 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) - e^{- x} + C$

خطوة 6.8

اقسِم كل حد في $e^{- x} v = - 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) - e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} v = - 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) - e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- 2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{- 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = \frac{- 2 (- x e^{- x}) - 2 (- e^{- x}) - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$v = \frac{2 (x e^{- x}) - 2 (- e^{- x}) - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$v = \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 6.8.3.3

اطرح $e^{- x}$ من $2 e^{- x}$ .

$v = \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$