حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x^{2} + 7 y^{2}) d x + 14 x (y d) y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x^{2} + 7 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 7 y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 7 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $7 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 14 y$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $14 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 14 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 14 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [14 x y]$

خطوة 2.2

بما أن $14 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $14$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $14 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $14 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$14 y = 14 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$14 y = 14 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 14 x y d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 14 x y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $14 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $14 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 14 x \int y d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $14$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{14}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.2

اجمع $x$ و $\frac{14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 14}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.3

انقُل $14$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 \cdot x}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.4

اضرب $14$ في $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 x}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{7 x}{1} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.4

اقسِم $7 x$ على $1$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $7 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 7 y^{2} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $7 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $7 y^{2}$ من $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $3 x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 10.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

خطوة 10.5.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + x^{3} + C$