حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$