حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 - 3 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 - 3 y}$ .

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 - 3 y} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 - 3 y} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 2 - 3 y$ . إذن $d u = - 3 d y$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 2 - 3 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 - 3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 3 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 - 3$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $3$ من $0$ .

$- 3$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - 3 y$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |)) = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 2 - 3 y |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}) = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 2 - 3 y |)$ في $1$ .

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 - 3 y |)} = e^{- 3 x - 3 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x - 3 C} = | 2 - 3 y |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$ .

$| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 - 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{- 2}{- 3}$

خطوة 3.5.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C} + 2}{3}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x + C} + 2}{3}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- 3 x + C}$ بالصيغة $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x} e^{C} + 2}{3}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- 3 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 3 x} + 2}{3}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C e^{- 3 x} + 2}{3}$