حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اطرح $v$ من كلا المتعادلين.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

خطوة 2.1.2

اقسِم كل حد في $4 \frac{d v}{d x} = - v$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 \frac{d v}{d x} = - v$ على $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{v}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

خطوة 3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

خطوة 4.3.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

خطوة 4.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ بالصيغة $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{x}{4}}$ و $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 7

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

خطوة 8.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $C_{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

خطوة 8.3.2

لنفترض أن $u = - \frac{x}{4}$ . إذن $d u = - \frac{1}{4} d x$ ، لذا $- 4 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

افترض أن $u = - \frac{x}{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

خطوة 8.3.2.1.2

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

خطوة 8.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 8.3.3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

خطوة 8.3.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

خطوة 8.3.3.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

خطوة 8.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

خطوة 8.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

خطوة 8.3.6

بسّط.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

خطوة 8.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

خطوة 8.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

خطوة 8.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

خطوة 8.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$