حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.4

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $2 y x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب عوامل $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = 2 x y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} y + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} y + 4 y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $2 x y$ من $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

خطوة 5.4

لنفترض أن $u = x^{2} + 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

افترض أن $u = x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 5.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 5.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 5.4.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 5.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

خطوة 5.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

خطوة 5.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.9

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

خطوة 5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.11.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

خطوة 5.11.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x$ في $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} y + 4 y$ في $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} y + 4 y$ في $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 11.3

بما أن $\frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{x}{x^{2} + 4}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 12.3

لنفترض أن $u = x^{2} + 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

افترض أن $u = x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 12.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 12.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 12.3.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 12.3.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 12.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

خطوة 12.4.3

اضرب $2$ في $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 12.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12.7

بسّط.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 12.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

خطوة 14

بسّط $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

خطوة 14.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 14.3

اجمع $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1.1

أعِد ترتيب $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ و $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

خطوة 14.5.1.2

بسّط $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

خطوة 14.5.3

بسّط.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$