حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 6 x y = 12 x$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 6 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$e^{6 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{6}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{3}{1} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$e^{3 x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{3 x^{2}} (6 x y) = e^{3 x^{2}} (12 x)$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = e^{3 x^{2}} (12 x)$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 12 e^{3 x^{2}} x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 12 e^{3 x^{2}} x$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 x y e^{3 x^{2}} = 12 x e^{3 x^{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] = 12 x e^{3 x^{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] d x = \int 12 x e^{3 x^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x^{2}} y = \int 12 x e^{3 x^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$e^{3 x^{2}} y = 12 \int x e^{3 x^{2}} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

خطوة 6.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 6.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 6.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x^{2}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

خطوة 6.2.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

خطوة 6.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{3 x^{2}} (6 x)$ .

$6 e^{3 x^{2}} x$

خطوة 6.2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $6 e^{3 x^{2}} x$ .

$6 x e^{3 x^{2}}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{3 x^{2}} y = 12 \int \frac{1}{6} d u_{2}$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x^{2}} y = 12 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$

خطوة 6.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $12 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$ بالصيغة $12 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$ .

$e^{3 x^{2}} y = 12 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$

خطوة 6.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع $12$ و $\frac{1}{6}$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{12}{6} u_{2} + C$

خطوة 6.4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6} u_{2} + C$

خطوة 6.4.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} u_{2} + C$

خطوة 6.4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x^{2}} y = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} u_{2} + C$

خطوة 6.4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x^{2}} y = \frac{2}{1} u_{2} + C$

خطوة 6.4.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{3 x^{2}} y = 2 u_{2} + C$

خطوة 6.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$ على $e^{3 x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x^{2}} y = 2 e^{3 x^{2}} + C$ على $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 e^{3 x^{2}}}{e^{3 x^{2}}} + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$