حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $1 + y$ من $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 1 + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 1 + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

خطوة 3.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x} | x | - 1$