حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 8 x^{2}$ . إذن $d u = 16 x d x$ ، لذا $\frac{1}{16} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 8 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $2$ في $8$ .

$16 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $8$ عن $y$ في $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $8$ في $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

خطوة 4.2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

خطوة 4.2.1.1.4

اضرب $\frac{1}{16}$ في $0$ .

$0 + K = 8$

خطوة 4.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 8$

خطوة 5

عوّض بـ $8$ عن $K$ في $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $8$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{16}$ و $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$