حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{4} + 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.4

بما أن $2 y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

خطوة 2.5.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

خطوة 2.6

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $4 y^{3} + 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y^{3} - 4$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y^{3} - 4$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $4 y^{3} + 2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{4} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{4} + 2 y$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $4 y^{3}$ من $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $2$ من $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $3$ من $- 3 y^{3} - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.6.2

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.2.6.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{4} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- y^{3} - 2$ و $y^{3} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (y^{3} + 2)$ بالصيغة $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{4} + 2 y$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{4} + 2 y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{4} + 2 y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{4} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

خطوة 8.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ بالصيغة $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y^{3} x + 2 x$ و $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} x + 2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{3} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.5

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.8

أضف $3 x y^{2}$ و $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.9

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.9.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.9.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.9.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.10

انقُل $3$ إلى يسار $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.12

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.13

أخرِج العامل $y$ من $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.13.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.13.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.13.3

أخرِج العامل $y$ من $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.14.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.2.2

اطرح $2 y^{3} x$ من $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.2.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.2.4

لكتابة $\frac{d g}{d y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

خطوة 12.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $y^{3} x$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

خطوة 12.1.2.2

أضف $4 x$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

خطوة 12.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x y^{3}$ و $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

خطوة 12.1.2.3.2

اطرح $y^{3} x$ من $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

خطوة 12.1.2.3.3

أضف $2 y^{4} - 4 x$ و $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

خطوة 12.1.2.3.4

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

خطوة 12.1.2.3.5

أضف $2 y^{4}$ و $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

خطوة 12.1.3

اقسِم كل حد في $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ على $y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اقسِم كل حد في $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ على $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4}$ و $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

خطوة 12.1.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

خطوة 12.1.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

خطوة 12.1.3.3.1.2.4

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

خطوة 13.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $x$ من $y^{3} x + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أخرِج العامل $x$ من $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

خطوة 15.1.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

خطوة 15.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

خطوة 15.2

لكتابة $y^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

خطوة 15.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

خطوة 15.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

خطوة 15.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

خطوة 15.4.3

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

خطوة 15.4.3.2

أضف $2$ و $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$