حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ حيث $f (2 π) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \cos (x) + C}$ بالصيغة $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \cos (x)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- \cos (x)}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $2 π$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

خطوة 6.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

خطوة 6.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $C e^{- 1} = 1$ على $e^{- 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $C e^{- 1} = 1$ على $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

خطوة 6.3.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل $e^{- 1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

خطوة 7

عوّض بـ $e$ عن $C$ في $y = C e^{- \cos (x)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $e$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

خطوة 7.2

اضرب $e$ في $e^{- \cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

خطوة 7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = e^{1 - \cos (x)}$