حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 16$ عن $f$ في $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

خطوة 4.2

بسّط $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

خطوة 4.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من $0$ .

$- 5 + K = - 16$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$K = - 16 + 5$

خطوة 4.3.2

أضف $- 16$ و $5$ .

$K = - 11$

خطوة 5

عوّض بـ $- 11$ عن $K$ في $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 11$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

خطوة 5.2.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$