حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 + x) \frac{d y}{d x} - x y = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - x y = 0$

خطوة 1.1.2

أضف $x y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} = x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 2 + x \frac{d y}{d x} = x y$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 2 + \frac{d y}{d x} x = x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} \cdot 2 + \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$ على $2 + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$ على $2 + x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (2 + x)}{2 + x} = \frac{x y}{2 + x}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (2 + x)}{2 + x} = \frac{x y}{2 + x}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{2 + x}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{2 + x} y)$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{x}{2 + x} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{2 + x})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{2 + x})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{2 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{2 + x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد ترتيب $2$ و $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.2

اقسِم $x$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

خطوة 2.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

خطوة 2.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

خطوة 2.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

خطوة 2.3.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 2.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.8

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.3.8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.8.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x + 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ على ${(x + 2)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ على ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$