حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

خطوة 5.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + 2 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

خطوة 5.1.1.1.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d V = \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 5.2.3.3

بسّط.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

خطوة 7.2.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 7.2.2.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

خطوة 7.2.2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

خطوة 7.2.2.1.2.2.2

أعِد ترتيب $x \ln (x^{2})$ و $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$