حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

خطوة 2.4

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

خطوة 2.5

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

خطوة 3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

خطوة 3.3

بسّط $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{- x} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $4 (e^{- x} + 1)$ بالصيغة $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

خطوة 3.3.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

خطوة 3.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$