حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 y = y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y - (- 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 3$ .

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{- y}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $x y + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $x y + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $y$ من $x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.5.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

خطوة 7.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

خطوة 7.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

خطوة 9.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x}{y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.5.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 12.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

اطرح $\frac{x + y}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.5

اطرح $y$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

خطوة 13.1.1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

خطوة 13.1.2

أضف $\frac{1}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 14.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$