حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - 1) x d x + (x^{2} + 3) y d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y^{2} - 1) x d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 3) y d y = - (y^{2} - 1) x d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $(x^{2} + 3) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) (y)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{y^{2} - 1}$ و $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y^{2} - 1$ من $(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y^{2} - 1$ من $(y^{2} - 1) x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) (x)) d x$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 3} x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 1}{x^{2} + 3}$ و $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

خطوة 4.2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y + 1$ و $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.4.2

اضرب $y + 1$ في $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 4.2.1.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 4.2.1.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

خطوة 4.2.1.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.2

اضرب $y - 1$ في $1$ .

$y + 1 + y - 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.3

أضف $y$ و $y$ .

$2 y + 1 - 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 y + 0$

خطوة 4.2.1.1.3.8.4.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 3$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 3$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.3.2.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

وسّع $(y + 1) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 3 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + 2 C$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} + 3 |) = 2 C$

خطوة 5.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} + 3 |) = 2 C$

خطوة 5.5

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} + 3) |) = 2 C$

خطوة 5.6

وسّع $(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} (x^{2} + 3) - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

خطوة 5.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

خطوة 5.7.2

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

خطوة 5.7.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$

خطوة 5.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |)} = e^{2 C}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |$

خطوة 5.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$

خطوة 5.10.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 = \pm e^{2 C}$

خطوة 5.10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.3.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - 3 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

خطوة 5.10.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

خطوة 5.10.4

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x^{2} + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

خطوة 5.10.4.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3 = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

خطوة 5.10.4.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

خطوة 5.10.5

اقسِم كل حد في $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ على $x^{2} + 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.5.1

اقسِم كل حد في $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ على $x^{2} + 3$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.5.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$

خطوة 5.10.7

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

خطوة 5.10.7.2

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

خطوة 5.10.7.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}$

خطوة 5.10.7.3.2

ارفع $\sqrt{x^{2} + 3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} \sqrt{x^{2} + 3}}$

خطوة 5.10.7.3.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + 3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 3}}^{1}}$

خطوة 5.10.7.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.10.7.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}}$

خطوة 5.10.7.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 3}$ في صورة ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.10.7.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.10.7.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.7.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.7.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{1}}$

خطوة 5.10.7.3.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{x^{2} + 3}$

خطوة 5.10.7.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$