حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $\frac{1}{9}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $4$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{9} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{2}{9} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{9} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{9} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{9} \cdot 2^{1} + K = 0$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{2}{9} \cdot 2 + K = 0$

خطوة 4.2.5

اضرب $\frac{2}{9} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{9} + K = 0$

خطوة 4.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{9} + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $\frac{4}{9}$ من كلا المتعادلين.

$K = - \frac{4}{9}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{4}{9}$ عن $K$ في $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{4}{9}$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{9}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{2}{9}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{4}{9}$