حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

اجمع.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{8}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اجمع $\frac{2}{3}$ و $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب $2$ في $8$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $\frac{2 K}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.4.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $\frac{2 K}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $16 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

خطوة 3.4.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

خطوة 3.4.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

خطوة 3.4.4.2

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $2 (8 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

خطوة 3.4.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

خطوة 3.4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$