حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 2 y^{3}) d x + 6 x y^{2} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (3 y^{2})$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 y^{2}$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $6 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 6 x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $6 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 y^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 y^{2}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} = 6 y^{2}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y^{2} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 6 x y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $6 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 6 x \int y^{2} d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 5.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ بالصيغة $6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x \frac{6}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.2

اجمع $x$ و $\frac{6}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 6}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.3

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 \cdot x}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.4

اضرب $6$ في $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 x}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 (1)} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{2 x}{1} y^{3} + C$

خطوة 5.3.2.5.2.4

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + 2 y^{3}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3} + g (x)] = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y^{3} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $2 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 y^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} + \frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} = x + 2 y^{3}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $2 y^{3}$ من $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$