حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 9$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.1.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $3 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

خطوة 1.1.2.2

أضف $3 x$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $\frac{d y}{d x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ على $x^{2} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1

أخرِج العامل $3 x$ من $- 3 x y + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1.1

أخرِج العامل $3 x$ من $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.2

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.3

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.4.1

أعِد كتابة $- (y - 1)$ بالصيغة $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y - 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y - 1$ من $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y - 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 1 |)$ و $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

خطوة 3.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y - 1 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y - 1 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y - 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y - 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

بسّط $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.6

بسّط.

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.7

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

خطوة 3.6.1.7.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.9

أعِد كتابة $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ بالصيغة $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

أضف ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.9.3

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.9.3.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $9$ عن $y$ في $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

$9 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$ .

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.1.1.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.1.1.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

خطوة 6.3.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C + 1 = 1 \cdot 9$

خطوة 6.3.2.1.5

اضرب $9$ في $1$ .

$C + 1 = 9$

خطوة 6.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = 9 - 1$

خطوة 6.4.2

اطرح $1$ من $9$ .

$C = 8$

خطوة 7

عوّض بـ $8$ عن $C$ في $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $8$ .

$y = \frac{8 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ بالصيغة ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 2$ و $b = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2^{2} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{1})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4.3

بسّط.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + | x^{2} + 1 |)}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 7.2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 + | x^{2} + 1 | - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$