حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ في $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

خطوة 1.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

خطوة 1.3

اجمع $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ و $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

خطوة 1.4

اجمع $y$ و $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

خطوة 1.5

اجمع $x$ و $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

خطوة 1.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

خطوة 1.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

خطوة 1.8

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.9.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.10

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

أخرِج العامل $x$ من $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.11

أعِد ترتيب $y$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.12

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

خطوة 1.13

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{2 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

خطوة 7.2

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ بالصيغة $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

خطوة 8.3.2.1.4

انقُل $x^{2} \cos (x)$ .

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

خطوة 8.3.2.1.5

أعِد ترتيب $x^{3} \sin (x)$ و $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$