حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{2} + 1)}{2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 1}{2 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 1}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 1}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 1}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{3 x^{2} + 1}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2} + 1}{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2} + 1}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 3 x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 3 x^{2} d x + \int d x)$

خطوة 2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (3 \int x^{2} d x + \int d x)$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x)$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3})$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{3} + x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{3} + x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{3} + x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{3} + x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{3} + x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{3} + x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} (x^{3} + x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2} x + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x^{3} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = x^{3} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x^{3} + x + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{3} + x + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{x^{3} + x + K}$

$y = - \sqrt{x^{3} + x + K}$