حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{4 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{4 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.3.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

خطوة 6.5

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 6.5.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 6.5.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

خطوة 6.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 6.7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

خطوة 6.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ بالصيغة $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 6.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.12.1.2

اجمع $\frac{x}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.12.1.3

اجمع $e^{4 x}$ و $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{4 x}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

خطوة 6.12.4.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

خطوة 6.12.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

خطوة 6.12.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

خطوة 6.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

خطوة 6.13

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ على $e^{4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ على $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

اقسِم $\frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اقسِم $- \frac{1}{8}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.2

اطرح $\frac{1}{8}$ من $\frac{1}{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أعِد ترتيب $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.2.2

لكتابة $x \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.2.3

اجمع $x \frac{1}{2}$ و $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.3.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.4

لكتابة $\frac{4 x - 1}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 7.3.5

لكتابة $\frac{C}{e^{4 x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 7.3.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8 e^{4 x}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.6.1

اضرب $\frac{4 x - 1}{8}$ في $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 7.3.6.2

اضرب $\frac{C}{e^{4 x}}$ في $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

خطوة 7.3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

خطوة 7.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

خطوة 7.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

خطوة 7.3.8.2

أعِد كتابة $- 1 e^{4 x}$ بالصيغة $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

خطوة 7.3.8.3

انقُل $8$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$