حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 1 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 1 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| 1 - y |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $\ln (| 1 - y |)$ على $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

خطوة 3.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - \ln (| x |)$

خطوة 3.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 - y |) + \ln (| x |) = - C$

خطوة 3.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y | | x |) = - C$

خطوة 3.6

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (1 - y) x |) = - C$

خطوة 3.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 x - y x |) = - C$

خطوة 3.8

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| x - y x |) = - C$

خطوة 3.9

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x - y x |)} = e^{- C}$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $\ln (| x - y x |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - y x |$

خطوة 3.11

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x - y x | = e^{- C}$ .

$| x - y x | = e^{- C}$

خطوة 3.11.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - y x = \pm e^{- C}$

خطوة 3.11.3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

خطوة 3.11.4

اقسِم كل حد في $- y x = \pm e^{- C} - x$ على $- x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اقسِم كل حد في $- y x = \pm e^{- C} - x$ على $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 3.11.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 3.11.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 3.11.4.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 3.11.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 3.11.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.11.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.11.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{x} + 1$