حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 2 y) d x + (2 y - 2 x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

خطوة 1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2$

خطوة 2.4

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 = - 2$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - 2 y d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x - 2 y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x d x + \int - 2 y d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 y d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 y x + C$

خطوة 5.4

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 2 x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - 2 x = 2 y - 2 x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x + 2 x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y - 2 x + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

خطوة 10.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + y^{2} + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - 2 y x + y^{2} + C$