حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = x y e^{y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x y e^{y^{2}})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y e^{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = y e^{y^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{x} d x = y e^{y^{2}} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{x} d x = \int y e^{y^{2}} d y$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int y e^{y^{2}} d y$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = y^{2}$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x |)} = e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C} = | x |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$ .

$| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{y^{2}}$ .

$| x | = e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$x = C e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$