حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y \cos^{2} (x)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{3}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} (\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1}{y \cos^{2} (x)}$

خطوة 1.3.2

اجمع.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 (\cos^{2} (x))}$

خطوة 1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cos^{2} (x)}$

خطوة 1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 1.3.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 1.3.6

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 1.3.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{3} d y = \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int y d y = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.2.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.3

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{6} y^{2} = \tan (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 (\frac{1}{6} y^{2}) = 6 (\tan (x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $6 (\frac{1}{6} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $y^{2}$ .

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 6 (\tan (x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 6 \tan (x) + 6 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{6 \tan (x) + 6 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $6$ من $6 \tan (x) + 6 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $6$ من $6 \tan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $6$ من $6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (\tan (x)) + 6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$