حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$ على $10 + x^{10}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y}$ على $10 + x^{10}$ .

$\frac{(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{10}} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10 + x^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(10 + x^{10}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{10}} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{9}}{y}}{10 + x^{10}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y} \cdot \frac{1}{10 + x^{10}}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $\frac{x^{9}}{y}$ في $\frac{1}{10 + x^{10}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{9}}{10 + x^{10}} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{x^{9}}{10 + x^{10}}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{(10 + x^{10}) y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(10 + x^{10}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{9}}{y (10 + x^{10})}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{9}}{10 + x^{10}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $x^{10}$ بالصيغة ${(x^{10})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{9}}{10 + {(x^{10})}^{1}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{1} = x^{10}$ . إذن $d u_{1} = 10 x^{9} d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u_{1} = x^{9} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{1} = x^{10}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$10 x^{9}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + u_{1}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $\frac{1}{10 + u_{1}}$ في $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(10 + u_{1}) \cdot 10} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.3

انقُل $10$ إلى يسار $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 (10 + u_{1})} d u_{1}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int \frac{1}{10 + u_{1}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u_{2} = 10 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u_{2} = 10 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $10 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10 + u_{1}]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.3.5.1.3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.3.5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.8

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + u_{1} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.8.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{10} \ln (| 10 + x^{10} |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{10}$ و $\ln (| 10 + x^{10} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + C \cdot \frac{10}{10})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{10}{10}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{10} |)}{10} + \frac{C \cdot 10}{10})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{10}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{2 (5)}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{2 \cdot 5}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + C \cdot 10}{5}$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $10$ إلى يسار $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 3.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 3.4.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 3.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 3.4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 3.4.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C} \sqrt{5}}{5}$

خطوة 3.4.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C) \cdot 5}}{5}$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + 10 C)}}{5}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + C)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (\ln (| 10 + x^{10} |) + C)}}{5}$